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5: Addition et soustraction de fractions, comparaison de fractions et fractions complexes - Mathématiques


5: Addition et soustraction de fractions, comparaison de fractions et fractions complexes - Mathématiques

FRACTIONS EN MATHÉMATIQUES

Le numérateur représente un nombre de parties égales et le dénominateur, qui ne peut pas être zéro, indique combien de ces parties constituent une unité ou un tout.

Par exemple, dans la fraction 3/4, le numérateur, 3, nous dit que la fraction représente 3 parties égales, et le dénominateur, 4, nous dit que 4 parties forment un tout. 

L'image ci-dessous illustre la fraction 3/4. 


Fractions complexes - Présentation PowerPoint PPT

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6.3 Applications pratiques

Vous pouvez utiliser votre connaissance des fractions pour résoudre des problèmes. Voici quelques conseils :

  • N'oubliez pas que le dénominateur d'une fraction nous dit en combien de parties un tout est divisé. Le numérateur nous dit combien de ces parties nous traitons.
  • Lisez attentivement le problème. Si possible, dessinez un diagramme pour représenter la situation.
  • Les pourcentages sont des fractions. Par exemple, 70 % de 25 peuvent être écrits sous la forme .
  • Un tout, par exemple tous les bonbons ou toute la durée ou tout l'argent, est représenté par le chiffre 1.
  • Décidez si vous devez additionner, soustraire, multiplier ou diviser :
    • "trouver la somme" signifie que vous devez ajouter
    • "trouver la différence" signifie que vous devez soustraire
    • "de" signifie que vous devez multiplier
    • « partager entre » signifie que vous devez diviser

    Exercice 6.10 : Utiliser des opérations avec des fractions pour résoudre des problèmes

    Chijindum dépense son argent de poche en vêtements et en sucreries. Quelle fraction de son argent de poche a-t-il dépensé en tout ?

    Chijindum dépense tout son argent de poche.

    Il faut une heure à Adanna pour se rendre à l'école à pied. Combien de temps lui faudra-t-il pour marcher jusqu'à l'école, rentrer à la maison et retourner à l'école ?

    Dans une certaine classe, de la classe sont des filles et des filles prennent des mathématiques. Calculez la fraction de la classe qui sont des filles et prenez les mathématiques.

    de la classe sont des filles et suivent des cours de mathématiques.

    Seuls les élèves de la classe de Mathématiques sont venus à l'école le vendredi. Au début de la leçon, le directeur a appelé de la classe à son bureau. Quelle fraction de la classe avait des mathématiques le vendredi ?

    de la classe avait des mathématiques le vendredi.

    Talatu décide de partager un paquet de bonbons avec ses frères et sœurs. Elle donne du paquet à sa sœur et à son frère. Quelle fraction des bonbons garde-t-elle pour elle ?

    Talatu gardait les bonbons pour elle-même.

    Un propriétaire de magasin local achète du riz dans des sacs de 50 & 194 & 160 kg. Il fabrique ensuite des sacs plus petits à vendre. Si un petit sac pèse   kg, combien de petits sacs peut-il composer à partir d'un grand sac ?

    Le propriétaire du magasin peut composer 125 petits sacs à partir d'un grand sac.

    Il reste  litre d'huile végétale dans une bouteille. Un boulanger doit mesurer cela dans des tasses de &# 194&# 160 litres chacune. Combien de tasses va-t-elle mesurer ?

    Le boulanger peut mesurer les tasses.

    Habib rentre chez lui après l'école. Il passe une heure à déjeuner, puis regarde la télévision pendant des heures, puis fait ses devoirs pendant des heures. Combien de temps ont duré toutes ces activités ?

    Un magasin de vêtements offre une remise de 15 % sur une paire de chaussures qui coûtait à l'origine &# 83581 500. Calculez le nouveau prix discount.

    Un sac de garri a une masse de  kg. Combien de petits paquets, chacun d'une masse de &# 194&# 160 kg, peuvent être constitués à partir du sac ?


    Examen de l'addition et de la soustraction de fractions et introduction à la simplification des fractions complexes - Présentation PowerPoint PPT

    Titre : 10.5 Addition, soustraction et fractions complexes Dernière modification par : Allan H. Bredenfoerder Format de présentation du document : On-screen Show Autres titres &ndash Présentation PowerPoint PPT

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    Addition et soustraction de fractions

    Les élèves doivent reconnaître l'ampleur des nombres fractionnaires pour pouvoir additionner et soustraire des fractions avec aisance. Cela nécessite qu'ils comprennent la notation des fractions, en ce sens que a/b a un numérateur (a), qui représente le nombre de parties et un dénominateur (b), qui représente la taille des parties. La fraction 5/8 peut être considérée comme 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 où les élèves ajoutent à plusieurs reprises un huitième. Cela peut être représenté sur une droite numérique ou à l'aide d'un modèle de région.

    Il est important que les élèves utilisent une gamme de modèles ainsi que des estimations, afin qu'ils puissent comprendre l'algorithme et les réponses qu'ils obtiennent. Dans le problème : Mlle F nettoyait la nourriture après la fête de la classe. Elle a remarqué qu'il restait 3/8 du gâteau au chocolat et 7/8 du gâteau à la vanille. Les deux gâteaux étaient de la même taille, la seule différence était la saveur. Combien de gâteau n'a-t-il pas été mangé ?

    Dans ce problème, un malentendu courant chez les étudiants est de ne pas être en mesure de reconnaître l'ampleur ou la taille des fractions.

    Par exemple, les élèves peuvent être en mesure de calculer 3/8 + 7/8 = 10/8 , cependant, lorsqu'on leur demande d'identifier quel nombre dix huitièmes est le plus proche de (0, 1/2 , 8, 10 ou 1 1/2 ), certains élèves reviendront toujours à la pensée des nombres entiers et déclareront que la réponse est la plus proche de 10 ou 8. Cela démontre que, bien qu'ils puissent utiliser les méthodes de calcul correctes, ils manquent toujours de compréhension conceptuelle. Un moyen de surmonter cela consiste d'abord à estimer et à donner un sens au contexte, à dessiner des visuels, puis à communiquer les résultats à l'aide de symboles abstraits.

    Le problème peut être résolu en utilisant la soustraction 2 - 5/8 - 1/8 qui montre que les morceaux mangés sont soustraits des deux-touts, ou l'addition 3/8 + 7/8 qui montre que les morceaux restants sont additionnés. Ceci est démontré sur la droite numérique ci-dessous. En utilisant la deuxième méthode, assurez-vous que les élèves estiment et utilisent d'abord des éléments visuels, pour les aider à identifier que 7/8 est proche d'un tout et 3/8 est proche de la moitié. À partir de là, ils peuvent conclure que la réponse devrait être supérieure à 1 mais inférieure à 1 1/2 .

    Lors de l'écriture de l'algorithme, la langue est également importante, c'est-à-dire qu'ils doivent lire les fractions correctement : 3/8 + 7/8 = 10/8 , trois huitièmes + sept huitièmes font combien de huitièmes ? (dix huitièmes).

    Programme victorien

    Étudier des stratégies pour résoudre des problèmes impliquant l'addition et la soustraction de fractions avec le même dénominateur (VCMNA188)

    Exemple de programme VCAA : un ensemble d'exemples de programmes couvrant les mathématiques du curriculum victorien.

    Glossaire de mathématiques VCAA : Un glossaire compilé à partir de la terminologie spécifique à une matière trouvée dans les descriptions de contenu du Victorian Curriculum Mathematics.

    Normes de réalisation

    Les élèves résolvent des problèmes simples impliquant les quatre opérations en utilisant une gamme de stratégies, y compris la technologie numérique. Ils estiment vérifier le caractère raisonnable des réponses et approximer les réponses en arrondissant.

    Les élèves identifient et décrivent les facteurs et les multiples. Ils expliquent des plans pour des budgets simples.

    Les élèves classent les nombres décimaux et les fractions unitaires et les placent sur une droite numérique.

    Les élèves additionnent et soustraient des fractions ayant le même dénominateur. Ils trouvent des quantités inconnues dans des phrases numériques et continuent des régularités en ajoutant ou en soustrayant des fractions et des nombres décimaux.


    5: Addition et soustraction de fractions, comparaison de fractions et fractions complexes - Mathématiques

    Les élèves assument le rôle d'un scientifique essayant de résoudre un problème du monde réel. Ils utilisent des pratiques scientifiques pour collecter et analyser des données, et forment et testent une hypothèse au fur et à mesure qu'ils résolvent le problème.

    • Chaque cas STEM utilise des rapports en temps réel pour afficher les résultats des étudiants en direct. Introduction à la carte thermique
    • Les cas STEM prennent entre 30 et 90 minutes aux étudiants, selon le cas.
    • Les progrès des étudiants sont automatiquement enregistrés afin que les cas STEM puissent être complétés sur plusieurs sessions.
    • Des versions ou niveaux appropriés à plusieurs grades existent pour chaque cas STEM.
    • Chaque niveau de cas STEM a un manuel associé. Ce sont des guides interactifs qui se concentrent sur les concepts scientifiques qui sous-tendent le cas.

    À propos des manuels

    Les manuels contiennent le même contenu, y compris les questions et les évaluations, du manuel à l'intérieur du cas STEM.


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    À propos de nous

    Nous avons rassemblé plus de 8 ans d'expérience professionnelle dans la production de matériel d'apprentissage en ligne pour créer un large éventail de ressources mathématiques pour les enfants de la maternelle à la 7e année. Ces ressources peuvent être utilisées par les parents et les enseignants à la maison ou à l'école.
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    K5 Learning propose des feuilles de travail gratuites, des cartes mémoire et des cahiers d'exercices peu coûteux pour les enfants de la maternelle à la 5e année. Nous aidons vos enfants à développer de bonnes habitudes d'étude et à exceller à l'école.

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    III. Recherche sur l'enseignement des fractions

    Section 5 : Défis Enseigner les fractions

    Les défis d'enseignement des fractions sont parallèles et se chevauchent avec de nombreux défis d'apprentissage des fractions. Il existe un certain nombre de facteurs contribuant aux défis généralisés associés à l'enseignement des fractions, dont certains sont traités plus en détail ici en raison de leur pertinence pratique et à prendre en compte dans le développement de nouveaux outils d'apprentissage et supports pour l'apprentissage des fractions par les élèves. Dans cette section, nous discuterons des ressources actuelles disponibles pour les enseignants et les élèves et les pratiques pédagogiques courantes connexes qui favorisent la compréhension des fractions limitées.

    1. les fractions ne sont pas évitées dans la vie quotidienne, mais sont plutôt cachées dans des contextes que les enfants ne reconnaissent pas comme des situations de fractions
    2. la notation écrite des fractions est relativement compliquée et,
    3. il existe de nombreuses règles associées aux procédures de fractions, et ces règles sont plus complexes que celles des nombres naturels.

    Moss et Case (1999) conviennent que la notation est un défi pour les élèves, mais ils suggèrent également plusieurs autres complications pédagogiques pour commencer, lorsque les nombres rationnels sont d'abord présentés aux élèves, ils peuvent ne pas être suffisamment différenciés des nombres entiers, négligeant l'importance de la relation qu'une fraction nomme (Kieren, 1995). Plus tard, l'importance des manipulations procédurales des fractions peut être privilégiée par rapport au développement de la compréhension conceptuelle. Une concentration sur les manipulations procédurales, sans aucune compréhension de pourquoi les procédures fonctionnent, peut contribuer à la perspective d'un élève de l'absurdité des mathématiques. Considérez le résumé suivant des procédures pour les opérations de fractionnement :

    Ces « règles » peuvent avoir un sens pour ceux qui comprennent déjà conceptuellement les opérations sur les fractions, mais elles n'aident pas les étudiants qui apprennent simplement à travailler avec des opérations qui incluent des fractions. Malheureusement, les étudiants sont souvent confrontés à des règles verbeuses pour les procédures, telles que l'exemple ci-dessus, qui sont difficiles à comprendre et se confondent avec des définitions de ce que signifie effectuer une opération. Pour compliquer davantage les choses, les stratégies spontanées ou inventées pour ajouter et soustraire des fractions sont généralement découragées, décourageant par inadvertance les étudiants de faire du sens (voir Confrey, 1994 Kieren, 1995 Mack, 1993 Sophian & Wood, 1997).

    Je. Ressources actuelles

    Les ressources de manuels disponibles pour les éducateurs en Amérique du Nord traitent systématiquement les fractions comme un sujet distinct ou une « unité » d'apprentissage des mathématiques chaque année. Dans ces unités d'étude discrètes, on montre aux étudiants une vaste gamme de représentations visuelles de fractions, peut-être en raison d'une croyance répandue qu'en montrant de nombreuses représentations différentes, quelque chose aura un sens pour l'étudiant. Les documents du programme d'études provincial présentent également les attentes d'apprentissage comme des résultats distincts axés sur des compétences précises, telles que la représentation d'une fraction, mais sans lien explicite entre les attentes au-delà des fractions. Cette approche discrète de l'apprentissage des fractions est remise en question dans la communauté de la recherche en didactique des mathématiques. En 1999, par exemple, Moss et Case ont encouragé les concepteurs de programmes d'études à passer de la « réalisation de tâches individuelles au développement de processus cognitifs plus globaux » (123). Ils sont arrivés à cette recommandation sur la base d'une étude intensive de l'apprentissage des fractions par les enfants. De même, Watanabe (2012), un chercheur en mathématiques qui étudie les fractions depuis plus de deux décennies, suggère que les programmes de mathématiques devraient se concentrer sur les fractions en tant que quantité, permettant aux élèves d'établir un lien étroit avec leur connaissance existante des nombres entiers en tant que quantité. . Bien que le programme d'études de l'Ontario soit solide, les élèves bénéficieraient de ressources supplémentaires, y compris un programme d'études révisé basé sur des progressions de développement connues : un programme qui soutient fortement les liens entre les systèmes de nombres et entre les fractions, l'estimation et le raisonnement proportionnel.

    L'utilisation de représentations multiples dans les ressources actuelles est d'un intérêt considérable. Dès 1994, Pirie et Kieran ont découvert que la compréhension des élèves est significativement influencée par « de forts attachements aux images particulières initiales » (Pitta-Pantazi, Gray & Christou, 2004, 42). Par exemple, si un élève est exposé à des représentations de cercles comme premières illustrations de fractions, cela devient probablement la représentation « aller à » pour cet élève lorsqu'il travaille avec des fractions. Les représentations numériques des nombres passent également par deux étapes clés liées au développement cognitif de l'enfant, en commençant par une étape sémiotique où le sens est établi en s'appuyant sur des représentations préalablement construites, puis en passant à une étape autonome où de nouveaux systèmes de représentations deviennent indépendants de leur précurseur. (Thomas, Mulligan et Goldin, 2002). Encore une fois, cela signale l'importance des premières « images » ou représentations de fractions et la valeur d'une sélection délibérée de représentations sur laquelle s'appuyer à mesure que l'apprentissage des fractions s'approfondit au fil du temps. Il a été démontré que les élèves les plus performants ont beaucoup plus de facilité à penser de manière flexible entre les représentations et à dresser une carte mentale du réseau de connexions entre les représentations (Pitta-Pantazi et al., 2004). Malheureusement, en analysant les ressources imprimées nord-américaines pour les étudiants, il n'est pas clair quelles représentations sont les plus utiles pour les étudiants en difficulté, ni comment les représentations sont construites pour donner du sens au fil du temps.

    Ii. Pratiques pédagogiques pour comprendre les fractions

    Accent excessif sur les fractions en tant que relations partie-tout

    La recherche a identifié une trop grande importance des fractions en tant que relations exclusivement partie-tout dans l'enseignement en classe en Amérique du Nord, ce qui limite la compréhension des élèves de la fraction en tant que quantité, conduisant à un certain nombre de malentendus constants en ce qui concerne les fractions. Par exemple, il existe un accord général sur le fait que cette interprétation singulière des fractions en tant qu'interprétation partie-tout a pour résultat que les élèves ont du mal à comprendre et à travailler avec des fractions impropres (Lamon, 2001 Smith 2002 Thompson & Saldanha, 2003 Charalambous & Pitta-Pantazi 2005 Watanabe, 2006). Ceci est encore renforcé lorsque les élèves reçoivent des chiffres pré-partitionnés et comptent d'abord le nombre de partitions, puis le nombre de sections ombrées, générant deux nombres qui sont combinés en une fraction. Selon Simon (2002), lorsque les élèves ne comprennent pas l'équivalence de morceaux de figures congruentes qui ont été divisés en deux, cela indique une compréhension des fractions comme un arrangement plutôt qu'une quantité.

    Langage imprécis

    De même, l'utilisation de « deux sur cinq » ne contribue pas à la compréhension par les élèves de la fraction en tant que nombre. Jigyel et Afamasaga-Fuata'I (2007) ont découvert dans une étude australienne portant sur 56 élèves que 63,6% des élèves de 8e année (environ 12-13 ans) et 66,7% des élèves de 6e année (environ 10-11 ans) ont choisi « deux sur cinq' comme l'une des manières correctes de dire la fraction 2 &frasl 5 . Certains d'entre eux ont estimé que c'était correct parce que les deux et les cinq sont des quantités sans rapport empilées les unes sur les autres :

    • « Deux est sur une ligne au-dessus de 5, vous pouvez donc dire 2 sur 5 ou deux cinquièmes. » (Année 8)
    • "Il y a un deux sur cinq." (Année 6)
    Représentations imprécises

    Les représentations de cercle sont difficiles à partitionner de manière égale, ce qui amène les élèves à se concentrer davantage sur le nombre de partitions et moins sur la congruence des partitions, ce qui entraîne une confusion chez les élèves quant à savoir si les partitions doivent être congruentes ou non. Selon Moss et Case (1999), cette approche par comptage des morceaux d'un cercle où chaque morceau compte comme un nombre entier (un morceau) ne tient pas compte de l'importance d'une aire égale ni de l'importance du tout par rapport à la pièces. En Ontario, il est particulièrement troublant de constater que, bien que les élèves du primaire utilisent des représentations circulaires lorsqu'ils étudient les fractions, le concept d'aire d'un cercle n'est formellement abordé qu'au niveau intermédiaire. Cela crée une situation intéressante dans laquelle les élèves doivent utiliser la construction de l'aire d'un cercle pour créer des partitions égales mais n'ont pas été formellement exposés aux propriétés de l'aire du cercle (Watanabe, 2012). Il existe une documentation substantielle d'élèves qui échouent lorsqu'ils tentent de diviser les cercles de manière égale à moins qu'ils ne considèrent les moitiés et les quarts. Les fractions autres que les moitiés et les quarts, y compris les tiers, les cinquièmes, les sixièmes, les neuvièmes, etc. semblent être très problématiques (ministère de l'Éducation de l'Ontario, en publication). De plus, Watanabe (2007) souligne qu'il y a actuellement une trop grande insistance sur les fractions pré-partitionnées dans les manuels scolaires nord-américains, ce qui limite les opportunités pour les enfants de s'engager dans « une partition directe et active comme une exploration de la création et de la signification des fractions » ) et qu'en conséquence, les élèves utilisent une méthode de comptage pour résoudre plutôt que de voir les partitions comme des fractions du tout.

    Dans les ressources américaines, les élèves de la maternelle à la 8e année sont exposés à jusqu'à 25 représentations différentes de fractions, contre seulement quatre dans les ressources japonaises (Murata, 2012). Les quatre représentations sont :

    Ces représentations sont utilisées de manière cohérente et dans le but de développer la compréhension des élèves de la fraction en tant que quantité et de souligner les concepts sous-jacents de (i) exprimer toutes les fractions comme un multiple d'une fraction d'unité, (ii) faire des comparaisons basées sur des unités similaires, et (iii) l'identification de l'ensemble (Watanabe, Murata, Okamoto, 2012). Cet ensemble de représentations soutient fortement le passage de la compréhension des différentes significations des fractions aux opérations avec des fractions de manière relativement transparente, car ces représentations sont extrêmement flexibles dans leur utilisation au fur et à mesure que le programme se construit. L'efficacité de l'utilisation cohérente des représentations est confirmée par les conclusions des chercheurs Pirie et Kieran (1994), qui ont constaté que les élèves s'accrochent aux représentations auxquelles ils sont initialement exposés comme fondement de leur compréhension conceptuelle. Puisque c'est le cas, il est logique de sélectionner des représentations précises qui ont de la longévité et de la puissance.

    Privilégier prématurément les procédures numériques-symboliques

    Kiernan, tel que cité dans Huinker (2002) et référencé dans Petit et al. (2010), ont constaté que « des expériences prématurées avec des procédures formelles (algorithmes) peuvent conduire à des connaissances symboliques qui ne sont pas basées sur la compréhension ou connectées au monde réel » (148). Cela est encore aggravé par la suppression progressive de l'utilisation de modèles de fractions pour privilégier la notation par symboles, ce qui peut empêcher les élèves de développer leur maîtrise des différentes représentations des fractions. Jigyel et Afamasaga-Fuata'i (2007) ont découvert dans leurs recherches que de nombreux élèves de 8e année (environ 12-13 ans) ne pouvaient pas expliquer comment un mur de fraction (barres) démontrait une équivalence. Ce manque de compréhension des fractions amène les étudiants à se fier à des algorithmes mémorisés et à commettre des erreurs fréquentes dans l'application de ces algorithmes (Brown & Quinn 2006). Saxe, Taylor, McIntosh et Gearhart (2005) suggèrent de surveiller la compréhension de la notation des fractions séparément de la compréhension des concepts de fractions à mesure que les élèves développent ces deux domaines de manière quelque peu indépendante.

    Moss et Case (1999) ont trouvé des preuves similaires de deux processus indépendants : a) une structure globale pour l'évaluation proportionnelle et b) une structure numérique pour diviser ou doubler. Dans leur étude, la coordination de ces deux structures n'a eu lieu qu'à environ 11 et 12 ans, amenant l'enfant à être capable de comprendre des concepts semi-abstraits de proportion relative et de fractions et pourcentages simples tels que la moitié (ou 50 pour cent) et trois quarts (ou 75 pour cent). Sur la base de ces observations, Moss & Case a développé une séquence pédagogique innovante, commençant par un bécher d'eau. Les élèves ont commencé à utiliser des termes généraux pour décrire le bécher comme étant presque plein, presque vide, etc. Les leçons ont ensuite introduit des pourcentages tels que « 100 % plein », en lien avec les connaissances et le schéma préexistants des enfants, ainsi que leur familiarité avec les contextes réels. et des représentations familières. Ensuite, la séquence de cours a introduit les décimales et a finalement relié ces formes de description des montants aux fractions. L'étude a utilisé une conception de groupe de contrôle pré-post et de traitement. Le groupe de contrôle et le groupe de traitement ont montré une amélioration entre le pré et le post, cependant, le groupe de traitement qui avait expérimenté la séquence de cours innovante a montré des gains statistiquement significatifs. Les enfants du groupe témoin étaient capables d'effectuer des procédures standard avec des nombres simples, mais lorsqu'ils étaient confrontés à de nouveaux problèmes, ces élèves réussissaient moins bien. Les enfants du groupe expérimental ont fait preuve de flexibilité dans leur réflexion et leur approche des problèmes présentés, et étaient plus précis dans leurs solutions. Les résultats de cette étude suggèrent que reconceptualiser l'ordre des tâches et des concepts, ainsi que les représentations utilisées, sont prometteurs pour s'appuyer sur les connaissances existantes des élèves et relever les défis importants présentés par l'apprentissage et l'enseignement des fractions.

    L'artifice des problèmes de mots

    La recherche indique que l'inclusion superficielle de fractions dans les problèmes de mots ou d'histoires traditionnels est également problématique. Les problèmes de mots ont généralement été utilisés pour tenter de rendre les mathématiques plus significatives ou pertinentes pour les élèves, mais les élèves (et les enseignants) ont tendance à traiter les problèmes de mots comme des situations où les procédures sont simplement cachées dans des mots et le défi consiste à déchiffrer les étapes nécessaires pour être pris. (Pour voir une méta-analyse sur les effets des problèmes de mots, allez à http://nichcy.org/research/summaries/abstract9.) Boaler (1993), qui a étudié des écoles avec différentes orientations pédagogiques, a constaté que 12 à 13 Les élèves d'un an suivant un programme de mathématiques dirigé par un enseignant (en mettant l'accent sur les procédures, la répétition et les problèmes de mots traditionnels) ont eu de la difficulté à traduire ces expériences en mathématiques en situations riches en contexte et axées sur l'enquête. Dans le cas des fractions, lorsque les élèves des programmes dirigés par des enseignants ont été invités à comparer les fractions sous une forme plus contextuelle, ils n'ont pas réussi. D'un autre côté, les étudiants participants d'une école engagée dans l'enseignement pour une compréhension approfondie par le biais d'approches d'enquête ont eu plus de succès à la fois avec des problèmes de mots traditionnels et avec des problèmes nouveaux axés sur l'enquête. Comme l'expliquent Petit, Laird et Marsden (2010), « des expériences prématurées avec des procédures formelles (algorithmes) peuvent conduire à des connaissances symboliques qui ne sont pas basées sur la compréhension ou connectées au monde réel (Kieren, tel que cité dans Huinker, 2002) » ( 148).

    Les implications ici suggèrent que les élèves ayant de fortes capacités procédurales, même avec des fractions, peuvent avoir des bases conceptuelles faibles et/ou la capacité d'appliquer la compréhension, selon le type de programme de mathématiques en classe.

    Section 6 : Différentes approches culturelles de l'enseignement des fractions

    De nombreuses études comparatives interculturelles au cours des deux dernières décennies ont démontré que les performances en mathématiques dans les pays d'Asie de l'Est dépassent de loin celles des États-Unis (Son, 2011 Charalambous et al., 2010 Watanabe, 2007 Zhou, Peverly, & Xin, 2006 Stigler & Perry, 1988), tandis que le Canada se classe parmi les premiers dans les comparaisons internationales (OCDE, 2009 Mullis, I., Martin, M., Foy, P., & Arora, A., 2011). Des différences américano-asiatiques dans les résultats en mathématiques ont été découvertes dès la maternelle et les évaluations internationales ont montré que ces différences étaient omniprésentes dans presque toutes les catégories mathématiques, y compris les fractions. Et bien que les élèves canadiens obtiennent de bons résultats à ces évaluations, la compréhension des fractions est faible. Dans cette section, nous demandons : Quels sont les pays qui excellent avec les fractions qui font bien ?

    L'objectif de cette section est de fournir une image de l'enseignement efficace des fractions dans les pays asiatiques. En particulier, l'enseignement des fractions au Japon, en Corée et à Taïwan est discuté puis comparé et mis en contraste avec celui de l'Amérique du Nord. À la fin de la section, un résumé des idées clés au cœur d'un programme de fractions efficace et cohérent est présenté qui s'appuie sur les similitudes dans la programmation à travers les pays. Nous commençons par le Japon, un pays souvent réputé pour sa programmation mathématique solide (Watanabe, 2007 Stigler & Perry, 1988).

    Je. Japon

    Au Japon, les fractions sont formellement introduites en 4e année (Watanabe, 2007). Selon le manuel de l'enseignant qui accompagne les manuels japonais, les enseignants sont chargés de communiquer deux idées principales lorsqu'ils enseignent les fractions :

    1. les fractions sont utilisées pour désigner des quantités inférieures à 1 et
    2. les fractions sont des nombres comme des nombres entiers.

    Ces deux concepts clés sont soulignés tout au long des instructions relatives aux fractions, depuis son introduction en quatrième année jusqu'à la fin de l'enseignement élémentaire et au-delà.

    In the fourth grade, fractions instruction focuses on developing the meaning of fractions and also introduces the concept of mixed number (Watanabe, 2006). Although the Japanese curriculum also emphasizes part-whole relationships, exposing students to mixed numbers and improper fractions early prevents students from developing the misconception that all kinds of fractions must be parts of one whole. Furthermore, decimal numbers are also introduced alongside fractions in the fourth grade. In the fifth grade, the relationships between fractions, decimals and whole numbers are further consolidated. Finally, in the sixth grade, students engage in an in-depth investigation of arithmetic with fractions.

    Five fraction constructs comprise the core of fractions instruction in the Japanese elementary mathematics curriculum (Watanabe, 2007). They are:

    1. part-whole relations,
    2. unit and non-unit fractions,
    3. fractions as operators,
    4. fractions as quotients, and
    5. fractions as ratios.

    The first three are introduced in fourth grade and the remaining two in the fifth and sixth grades, once students have built a foundational understanding of fractions. In this manner, the Japanese curriculum places almost equal emphasis on all five constructs for the purpose of familiarizing students with the different interpretations of fractions.

    Analyses of Japanese textbooks have revealed that most fractions problems areframed within a measurement context where linear representations of fractions are used (Watanabe, 2007). The predominance of linear representations in the form of rulers (when integrating fractions and decimals) and number lines is due to an effort by the Japanese curriculum to emphasize that fractions are numbers. In Japanese textbooks area models are not often used due to the fact that fractions are generally introduced before area measurement. Japanese educators reason that using a representation about which students do not have deep conceptual understanding would not help them when solving problems about fractions (Watanabe, 2012). On the other hand, linear models such as tape diagrams are used throughout early Japanese elementary education in the study of whole numbers. Therefore, students already have some familiarity with linear representations by the time they begin to study fractions. The transition from tape diagram representations to number lines during the study of fractions is both purposeful and intentional to ensure a natural progression in learning for students.

    The following excerpts from the Japanese Textbook Share with Your Friends: Mathematics for Elementary School (translated to English) (Hitotumatu, 2011) allow for an examination of the structure and sequence of the mathematics learned in Grade 4. It is important to note that such text resources are supported by teacher resources and a robust curriculum document which allows for teachers to use the textbooks as a supplement following active learning (Watanabee, 2012).

    An excerpt from the table of contents is shown in Figure 10. Note that decimal numbers (including how to represent decimal numbers and the structure of decimal numbers) are learned before the fractions module, which focuses on fractions larger than 1, equivalent fractions and addition and subtraction of fractions.


    Voir la vidéo: addition et soustraction de nombres relatifs 5 -5ème- (Octobre 2021).